📩 연구 동기

어라 이렇게하면 규칙성이 있고, 이렇게도 파이를 유도할 수 있겠는데?

파이데이 행사를 준비하며, 저희는 저희가 직접 원주율을 한 번 유도해보고 싶었습니다. 그러다, 지극히 우연히 떠오른 생각이 있었습니다. 모든 각도형은 삼각형으로 나타낼 수 있음에서 착안한 것인데, 각도형의 넓이가 넓어지며 추가되는 삼각형에 규칙성이 보였던 것입니다. 이때, 이 삼각형의 규칙성을 이용해 원의 넓이를 구할 수 있겠다는 생각이 직감적으로 들었습니다. 따라서, 정말로 이 아이디어가 참인지에 대해 테스트해보고자 연구를 시작하게 되었습니다.

💭 서론

$π$는 일상 속에서 흔히 접하는 도형인 원의 성질을 다루었다는 특성상 일상 속에서 자주 등장하며 친숙하게 접근이 가능합니다. 이러한 $π$를 구하는 대표적인 방법은 Archimedes의 방법인데, 정삼각형, 정사각형, 정오각형과 같은 정다각형을 내접 및 외접시켜 원의 둘레를 구하는 방법으로 $π$를 계산할 수 있습니다. 이 방법은 미적분의 등장 이전까지는 $π$를 구하는 가장 좋은 방법이었습니다.

$$ {{1}\over{2}}{{l_n}\over{n}}<\pi<{{1}\over{2}}{{L_n}\over{n}} $$

본 연구는 위의 방식에서 착안하여, $π$의 값을 넓이의 관점에서 접근하려고 합니다. 원 내부의 정다각형의 변의 개수를 무한히 늘리면 원의 넓이에 수렴하는 것에서 착안한 것입니다. 따라서 본 연구는 원 내부의 넓이를 변의 개수를 늘려가며 구하고 이를 통해 $π$값을 구하는 식을 유도하는 것을 목표로 합니다.

📚 이론적 배경

원주율

원주율은 원 둘레와 지름의 비를 의미합니다. 둘레의 길이를 $l$, 지름의 길이를 $r$, 원주율을 π라 하면 다음과 같은 식이 성립합니다.

$$ \pi={{l}\over{r}} $$

$π$는 무리수입니다. $π$가 무리수인 이유에 대해, 본 연구에서는 Lambert의 증명을 소개했습니다. 이는 연분수를 사용하는 방법인데, 유리수는 유한 연분수로, 무리수는 무한 연분수로 나타낼 수 있음을 이용합니다.

$\tan(x)$는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$ \rm tan \it (x)={{x}\over{\rm1\it-{{x^2}\over{\rm3\it-{{x^2}\over{\ddots}}}}}} $$